а это зависит от определения вещестественных чисел, которое ты берешь

@navernoe А их несколько? Я только Дедекинда знаю...

@goren да, разумеется, много. есть, например, аксиоматическое, как полное линейно упорядоченное поле

@goren если брать дедекиндовское, то там порядок продолжается с порядка на натуральныхчислах

@navernoe Но полное линейно упорядоченое поле же не обязательно действительные числа. Оно только должно быть изоморфно действительным числам.

@navernoe А на натуральных числах как определить? Так, как мы их строили, там получается что-то типа a<b если a есть элемент P(b) или что-то типа того. Но на более других числах это не работает.

@goren ну, изоморфизм сохраняющий порядок. а это и значит, что это и есть действ. числа. -- все структуры -- алгебраическая, структура порядка, топологическая -- совпадают.+непросто с точностью до изоморфизма, но с точностью до единств.изоморфизма

@goren а на более других --продолжаем порядок с натуральных. там везде,по-видимому, единственное продолжение

@navernoe ну, такое чтобы салгебраич.стр-рой согласовано было

@navernoe У нас они как-то странно строились через множества, я где-то на переходе от целых к рациональным потерялся.

@goren на переходе от целых к рациональным идет конструкция поле частных-- мы рассматриваем сложение и умножение на классах эквивалентных дробей(по отношению эквив-ти -- приведение к одной несократимой)

@navernoe Это я понимаю, там не совсем понятно, как определить деление.

@goren по формуле:)

@navernoe По какой?

@goren деления дробина дробь

@navernoe Так блин, я ж не понимаю, что с числами при этом происходит. Ну, то есть, предположим, у нас были целые, то есть положительные, типа {}, {{}},

}},{{{

} и так далее, отрицательные, типа дополнения, и ноль, то есть всё вместе. Было сложение, типа повторное инкрементирование, было умножение, типа повторное сложение, ну и у некоторых чисел были обратные по умножению. А тут ВНЕЗАПНО стали делить одни на другие и получили какие-то дроби, которые не входят во множество целых. Совершенно непонятно, как оно так произошло. Многие старые учебники, чтобы объяснить этот переход, вообще начинают вместо чисел говорить о каких-то отрезках, которые как-то делят.

@goren в этом-то и фишка. сначала делаем операцию, котораянам добавляет обратные по сложению-- ок. добавили. теперь хотим обратные по умножению -- снова добавили.

@goren т.е. мы формально добавляем новые структуры --и оказывается, что их можно добавить единственным образом

@navernoe Но природа того, что добавили, не понятна же.

@goren почему-- понятна как раз. пары элементов с некоторым заданным отношением эквивалентности. каким -- см. выше. оказывается, что такая конструкция единственна: именно, любое вложение(!!) целых чисел в поле пропускается через вложение в рац. числа

@navernoe А потом единственный способ сделать это множество полным?

@goren нет. для этого нам надо выбрать метрику. способов сделать этот выбор имеется счетное число:именно, классическая метрика, а также т.н. p-адические метрики(по одной для каждого простого числа p). Это теорема Островского. Каждой из них соответствует свое пополнение -- вещественные и p-адические числа, соответственно. вещественные -- выделяются свойством архимедовости метрики, т.е. что для любого x существует натуральное n, что |nx|>1.

@goren еслибудшь смотреть лит-ру то там будут говорить не о метрике, а о "норме", но щас различия не так важны нам

@navernoe Я ничерта не понял. Ну, то есть, понятно, что можно ввести метрику, чтобы измерять т.с. расстояния между элементами. Но как сами эти расстояния сравнивать?

@goren расстояния у нас рациональны будут,а порядок на рациональных числахуже есть:)

@navernoe И да, кстати, p-адические числа не будут полными или не будут упорядоченными, или что с ними не так?

@navernoe Почему рациональны? Классическая метрика - это не то же самое, что евклидова?

@goren они будут полными в более слабом смысле

@goren т.е. есть понятие полноты относительно метрики и относительно порядка. относительно метрики будут, а относительно порядка --нет

@goren то же. но расстояния между рац.числами -- рациональны же

@navernoe Ты меня окончательно запутал О.о

@goren ну и они не архимедовы, да

@goren они будут полными метрическими пространствами, т.е. каждая последовательность Коши будет иметь предел, но не будут полными упор.мн-вами, т.е. не каждое ограниченное мн-во будет иметь точные верхнюю/нижнюю грань

Рефлексивность, антисимметричность, транзитивность.

@matimatik Ну так это же вроде как не единственное отношение с этими свойствами. Даже если добавить тотальность или как это по-русски - всё равно не единственное, кажется.

@goren Так и не должно быть. Действительные числа – упорядоченное поле т.е. сколько порядков, столько и действительных чисел.

@matimatik Так а как мы ихсравниваем тогда?

@goren Придумываем порядок (или берём спотолка) и сравниваем. А обозначения уже потом выбираем так, чтобы красиво с выбранным порядком соотносились.

@matimatik Ну хорошо, но обычный порядок, который везде используют - он с какого потолка взят и как определяется?

@goren Как рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение.

@matimatik Про отношения нам нормально рассказывали здесь в новозелашке, я же спрашиваю про конкретный порядок на действительных числах.

@goren Он конкретный ровно настолько, насколько конкретны сами числа. Как уже писали выше по треду, есть два способа: теоретико-числовой и чисто алгебраический. В первом случае мы сначала строим натуральные, целые, рациональные числа, а потом хитрой магией получаем действительные с уже порождённой метрикой. Тут порядок не определяется, а скорее получается, строится. "Продолжается естественным образом" из (лексикографического, наверное) порядка, который мы приняли для натуральных чисел. Во втором же мы просто говорим "[R, +, *, >=] – упорядоченное поле действительных чисел". И это заклинание нам всё делает =) Порядок при этом может быть абсолютно любой, лишь бы согласовался с операциями. А вот когда мы облекаем элементы этого поля в телесную оболочку – вводим цифирьные обозначения – мы их вводим так, чтобы они были согласованы с операциями и порядком, а это можно сделать уже единственным образом (принимая во внимание лексикографическое упорядочение букв-цифирь и составленных из них слов-чисел).

@matimatik Это уже лингвистика какая-то О.о

@goren Если мы говорим об обозначениях, то касаемся лингвистики, да. Она ведь и системы обозначений изучает в том числе. Правда, большинство математиков редко задумываются об природе используемых ими обозначений.

@matimatik (41) не "может", а будет. мы хотим упорядоченное поле же получить, облаюадающее какими-то свойствами. оно и получается: причем, у него нет автоморфизмов сохраняющих порядок, кроме тождественного -- т.е. никаких других вещественных чисел не существует.

@matimatik (44) полное(по Дедекинду)(или полное относительно отношения порядка) упорядоченное поле. Магия ничего не делает. Т.к. надо все равно доказать, что оно существует. и еще неплохо доказать, что оно единственно(но не обяз. конечно:) ).

@navernoe Почему это не существует? Если я задам такой порядок, что 2>3 (а всё остальное как обычно) и поменяю местами 2 и 3 (таким образом, что 2*5=15, а 3*5=10, к примеру), то получатся такие же нормальные вещественные числа. Просто мы привыкли, что 2 это 2, а 3 это 3, а не наоборот, но никто нам не запретит.

@matimatik этот порядок со структурой поля не согласован.

@matimatik или ты значки хочешь поменять -- ну так это бессмысленно. т.к. существует единственный изоморфизм

@navernoe т.е. поле единственно с точностью до единственного изоморфизма, никакой более другой единственности в математике не бывает вообще-то

@navernoe Согласован. Всё точно также как и в обычном, только двойка и тройка по-другому называются.

@matimatik см. выше, это не "другие вещественные числа", это другое обозначение -- т.к. единственны с точностью до единств. изоморфизма

@navernoe То есть, можно через единственный изоморфизм вообще равнство двух объектов определить?

@goren ну, вообще говоря, да, можно(и только так и правильно). но тут фишка в чем -- изоморфизм всегда относительно каких-то структур же. т.е. скажем, если мы забудем структуру порядка -- то уже иная история.

@navernoe Ну, разумеется, структурно они те же самые.