Сохраняю для потомков: http://2ch.hk/sci/res/154305.html#162237
Ты обучаешься по типичной программе рашковузов. Не представляю, зачем тебе нужен диплом рашковуза, но всё же помогу.

Рашковузам этот метод нужен, чтобы загрузить тебя бессмысленной работой. В армии копают от забора и до обеда, а в рашковузах зубрят с утра до ночи, даже и не пытаясь понять суть, и вообще занимаются хуетой. Для получения диплома нужно только продемонстрировать обладание скиллами зубрежки и лизоблюдства, любой проблеск мысли или гордости наказуем. Ладно бы зубрили что-то годное, но это же рашка. Составитель Федерального математического стандарта высшего образования был алкоголиком и вставил в программу то, что с бодуна пришло ему в голову, — и вот уже двадцать с лишним лет все ВУЗы рашки изучают похмельный бред. И министерство образования регулярно обновляет этот стандарт и делает его ещё бредовее. И литература для студентов тоже уже подстроилась под похмельный бред. Это было бы анекдотом, если бы не было так грустно.

В рашковузе заставляют зубрить и только зубрить. В рашковузе никогда не обучат думать. Тебе даже не дадут заметить, что неопределённый интеграл чертовски похож на обобщённую функцию, которая сопоставляет данной функции некоторое множество функций, и уж тем более не объяснят, что замена переменных в интеграле делается, в общих чертах, по тому же шаблону, по которому берётся предел композиции функций. Конечно же, преподаватели рашковузов понятия не имеют, какая математика в наше время используется в передовой науке, поэтому не могут ей научить. Они профнепригодны, и лишь создают иллюзию, что учат. Элементарные методы интегрирования, которым они с таким пафосом "обучают" студентов, за один вечер рассказываются на коленке, и вообще весь пугающий первокурсников рашковузовский матан на самом деле набор по-детски простых фактов.

Просто чтобы ты знал. Математик Жорж де Рам полсотни лет назад сконструировал комплекс де Рама. У этого комплекса, как и у всякого уважающего себя дифференциального комплекса, имеется дифференциал. Неопределённый интеграл - это всего лишь сечение оного дифференциала, то есть сопоставление точной форме её прообраза, определённого с точностью до замкнутой формы. "Определённый интеграл" на самом деле требует для своего построения предварительного изучения теории меры. Мера есть прямое обобщение "площади под кривой", она сопоставляет множеству его объём. Интеграл Римана, который в рашковузах обычно не называют по имени, пользуясь просто термином "определённый интеграл", основан на мере Жордана. Интегральные суммы - это вот она вот и есть, глубоко законспирированная. Интеграл Римана и мера Жордана давно устарели, и в наше время благородные доны изучают более мощные меру Лебега и интеграл Лебега (лекции Львовского). Но ближе к телу.

Чтобы понять практическую полезность замены переменных, возьми задачник, например, Демидовича для математиков (можно для ВТУЗов, но там совсем легкотня), открой его на соответствующей главе и убей два вечера на полное прорешивание этой главы.

Чтобы разобраться в теории, предварительно пойми:
1. Как конструируется множество вещественных чисел. Главное, важнейшее, самое адово необходимое понятие, без которого матан не построить, - непрерывность вещественных чисел. Разберись хотя бы с одним способом конструирования поля вещественных чисел (например, с помощью сечений Дедекинда - про рациональные, вещественные и комплексные числа написано в вики, в ней же есть статья про способы конструирования R и смешная история про то, как греки утопили первооткрывателя иррациональных чисел).
2. Пойми, как определяется предел по базе множеств (Архипов, Садовничий, Чубариков - лекции по математическому анализу, глава чёрт-те там какая-то, но в начале; это скверный учебник, но, поскольку он написан для типичных рашковузов, сведения из него будут полезны). Вообще, разберись, что такое предел. Математический анализ -наука, которая изучает предельный переход во всём его многообразии. Если ты не понимаешь главного объекта матана, то и матан ты не понимаешь. Вики, гугл и учебники в помощь.
3. Пойми, что такое непрерывная функция и какими свойствами - локальными и глобальными - она обладает. Можно по вики. Обрати внимание на непрерывность композиции.
4. Узнай теорему о пределе композиции функций. Можно по Зоричу.
5. Пойми, чем производная отличается от дифференциала (Демидович, курс высшей математики). Обязательно обрати внимание на геометрический смысл дифференциала и на геометрический смысл производной.
6. Пойми, как устроена производная композиции функций.
7. И только потом пытайся вникнуть в теорему о замене переменных в интеграле.

Под пониманием я понимаю возможность воспроизвести. То есть ты должен сперва выписать на листочек основные факты (включая определения!), затем зазубрить их (благо, зубрежке тебя научили), а через два-три дня самостоятельно без шпор всё воспроизвести и доказать. Это гораздо проще, чем кажется, и доставляет удовольствие. Только таким образом, с такими нелепыми костылями рядовой анонимус может научиться думать. Когда наберёшь достаточно экспы, необходимость в предварительной зубрежке отпадёт, и ты сможешь самостоятельно без подготовки изучать интересные тебе математические и физические объекты.

Разумеется, перед всем этим тебе нужно понять, зачем вообще нужна вся эта шняга с непрерывностью и анализом. Для этого прочитай в вики статьи про историю математики и про историю дифференциального и интегрального исчисления, а также статью про метод исчерпывания и про метод неделимых.

Фундамент математики делятся на три больших раздела; алгебру, геометрию и анализ. Очень грубо говоря, геометрия изучает группы движений и многообразия (SO(3), SU(2) - видел где-нибудь? со школьной недогеометрией почти ничего общего не имеет), алгебра изучает структуры, а анализ изучает предельный переход и связывает алгебру с геометрией. Знакомство с этими тремя разделами математики необходимо каждому учёному (достаточно прочитать статьи на http://arxiv.org , чтобы в этом убедиться), но в рашковузах ни одному из них не учат. Современные разрабатываемые разделы математики - это дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, дифференциальная топология и алгебраическая топология; теория категорий и прочие модные у программистов вещи не столь перспективны, как эти четыре раздела. Дифференциальная геометрия, по сути, является языком современной физики так же, как дифференциальное и интегральное исчисление было языком физики девятнадцатого века.

От всей души рекомендую тебе прочитать первые главы "Анализа" Зорича, первый семестр лекций Львовского, несколько глав из "Алгебры" Винберга после того, как ты сделаешь вышеперечисленное. У Львовского советую посмотреть на теорему о среднем (с няшной картиночкой, ей!) и сравнить с типичным быдлоизложением.
Хорошие, современные книги по математике на русском языке издаёт МЦНМО.

Даже если этот пост не пригодится тебе, он пригодится кому-нибудь ещё. Добра.